Blog consacré à l'économie et l'économie politique
22 Avril 2020
Ière partie : les préliminaires
L’école néoclassique domine l’économie politique depuis plus d’un siècle. Les autres écoles (par exemple les néo-ricardiens) sont réduites à la portion congrue. Au sein de la famille néoclassique, de même, une sous-école a assuré son hégémonie : les néowalrassiens. A partir des années 1930, des économistes tentent de ressusciter l’idée walrassienne de l’équilibre général (cf. m, mais sans commettre les erreurs mathématiques de Léon Walras ( « Eléments d’économie politique pure » 1874). La période suivant immédiatement la deuxième guerre mondiale est cruciale.
Tjalling Koopmans
Dans les années trente est créée aux Etats-Unis la « Commission Cowles »[1] qui a pour objectif de promouvoir l’économie mathématique. Elle rassemble de nombreux économistes, dont beaucoup d’Européens (notamment ceux du Colloque viennois), qui
franchissent l’Atlantique devant l’avance nazie. Les travaux de Wald et von Neumann sont le point de départ de la réflexion. Des congrès sont organisés. Les progrès dans l’économie néo-walrassienne ne sont plus le fruit d’initiatives isolées mais le résultat d’une activité coordonnée.
L’économie néowalrassienne entre dans une nouvelle étape, qui, ne révise pas seulement la démonstration walrassienne de l’existence de l’équilibre général mais englobe la problématique parétienne de l’optimum du consommateur, de celui du consommateur et du lien entre équilibre et optimum. Comme celle de Walras, les démonstrations néo-parétiennes comportaient des imperfections :
Pour résoudre ces problèmes, l’économie néo-walrassienne s’est trouvée de nouveaux outils mathématiques mais la perspective économique de l’école de Lausanne demeure. C’est l’outil qui change, pas la théorie elle-même.
Convexité et théorie du producteur
La nouvelle théorie de la production fut initiée principalement par Tjalling Koopmans qui quitta sa Hollande natale pendant la guerre pour rejoindre la commission Cowles dont il devint rapidement le président.
Soit une économie comportant l biens ; Koopmans reprend de von Neumann le concept d’activité, mais le formalise différemment. Les différentes activités de production réelles ou potentielles sont représentées par des points dans l’ensemble vectoriel à l dimensions. Un point dans l’espace vectoriel se caractérise par des coordonnées qui correspondent à un nombre réel sur chacun des l axes. Considérons que ces coordonnées sur les axes représentent les quantités physiques des biens, qui interviennent dans l’activité productive (en tonnes, mètres, unités diverses). Conventionnellement, Koopmans représente cette quantité par un nombre négatif pour les inputs et par un nombre positif pour les outputs. Par exemple, l’activité ya représentée par le vecteur (‑1,0,‑4,0,0,3,1,-9) est celle où on produit trois unités du bien six et une unité du bien sept à partir d’une unité du bien un plus quatre unités du bien trois plus neuf unités du bien huit ; les biens deux, quatre et cinq n’interviennent pas dans cette activité.
La représentation graphique est évidemment limitée à la production faisant intervenir un maximum de trois biens. Le graphique 6.2 nous montre un ensemble de deux activités : d’une part, y qui produit 5 unités de (2) et 3 unités de (3) à partir de 3 unités de (1) et d’autre part, y’ qui produit 5 unités de (1) à partir de 3 unités de (3) et 4 unités de (2).
Graphique 6.2 : activités dans l’espace vectoriel
La représentation des activités par des vecteurs a l’avantage de mettre à disposition de l’économiste les ressources du calcul vectoriel, mais la lecture du présent chapitre ne nécessite presque aucune connaissance dans ce domaine. Les mathématiciens distinguent les scalaires, c’est-à-dire les nombres et les vecteurs, qui sont multidimensionnels. Le concept de vecteur inclut celui d’une direction, puisque les coordonnées du vecteur déterminent une position par rapport à l’origine (le zéro sur chaque axe). L’origine représente l’absence de production et l’éloignement d’un point par rapport à celle-ci reflète l’importance des flux que la production met en jeu. Si deux vecteurs distincts ont la même direction, ils représentent des activités où les biens entrent et sortent en proportion identique mais avec une amplitude différente.
Je me conformerai à une pratique courante consistant à distinguer les vecteurs des scalaires en les désignant par des lettres notées en caractère gras. La lettre minuscule y désigne généralement les activités. Les activités peuvent être définies au niveau de la firme ou de l’économie globale. L’indice f contenu dans yf stipule qu’on a affaire à une activité de la firme f. L’absence d’indice signifie qu’on a affaire à des activités propres à l’économie entière. Le vecteur relatif à l’économie globale a, comme éléments, des quantités produites qui sont pour chaque bien la somme des éléments correspondants des vecteurs des entreprises.
Ce n’est pas la totalité de l’espace vectoriel ainsi défini qui nous intéresse. Une activité produisant un kilo de chocolat à partir de 3 mètres de tissus et un baril de pétrole est évidemment impossible. Nous allons donc constituer dans l’espace vectoriel un sous-ensemble : l’ensemble des activités possibles, c’est-à-dire les activités qui sont technologiquement réalisables[1]. On utilise la lettre majuscule Y pour désigner l’ensemble des activités possibles. Un ensemble comme Y ou Yf est une espèce de nuage dans l’espace vectoriel, qui enveloppe l’origine. La forme du nuage n’est pas aléatoire. Plus élevés sont les inputs, plus élevés tendront à être les outputs. Grâce à cette relation, on peut supposer que la forme du nuage ne sera pas trop irrégulière.
Pour examiner plus en détail l’ensemble Y ou Yf, simplifions la situation pour avoir un graphique en deux dimensions : les activités ont un input y1 pour un output y2, comme sur le graphique 6.3. Supposons que Yf soit la surface hachurée. Pour chaque valeur de l’input, l’output peut prendre les diverses valeurs comprises entre l’abscisse et la courbe F. Les points sur cette courbe indiquent la production maximale pour un input donné ; par exemple, elle vaut 9 lorsque l’input vaut 11. On appelle fonction d’efficience (F), l’ensemble des points de Yf où la production est maximale. Elle dépend de critères technologiques. Elle constitue la frontière supérieure de l’ensemble Yf. Normalement, la firme, motivée par la recherche du profit, devrait ignorer les activités de Yf qui ne figurent pas sur la fonction d’efficience.
[1] Les économistes font parfois la distinction entre les activités possibles et les activités faisables qui, outre le fait d’être possibles, ont une consommation des inputs qui n’excède pas la disponibilité (principalement pour les facteurs primaires).
Graphique 6.3 : la frontière d’efficience
L’origine (output et input nuls) fait partie de Yf car elle est évidemment faisable : elle se trouve sur la frontière d’efficience, car sans input, l’output maximal est nul.
L’une des caractéristiques les plus importantes, que peut avoir un ensemble comme Yf, est la convexité. Prenons une paire de points (de vecteurs) quelconque de l’ensemble ; celui-ci est dit convexe si tous les points de la droite qui les relie font aussi partie de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble comporte notamment l’activité y qui tire 20 produits de 10 heures de travail plus 4 tonnes de matière ainsi que l’activité y’ qui tire 18 produits de 12 heures de travail et 3 tonnes de matières. Dans ce cas , l’ensemle Yf ne sera convexe que s’il comporte également l’activité y° qui tire 18,8 produits de 11h20’ de travail et 3,4 tonnes de matière. Mathématiquement, la convexité s’exprime ainsi :
[1] Attention au piège terminologique : l’ensemble convexe a une frontière d’efficience concave.
Une activité dont certains inputs ou outputs sont indivisibles est également indivisible. Si l’activité y est indivisible, toutes les activités l.y où 0 ≤ l ≤ 1 ne sont pas faisables. Il s’ensuit que des activités indivisibles rendent l’ensemble non convexe.
Le graphique 6.4 montre trois ensembles Yf dont la frontière d’efficience est respectivement concave, droite et convexe. On constate que les deux premiers ensembles sont convexes et le troisième non[1].
Graphique 6.4 : la convexité des ensembles de production faisable
La forme de la frontière d’efficience révèle le type de rendements d’échelles : à gauche, l’output croît moins vite que l’input : ce sont les rendements décroissants ; au milieu les rendements sont constants et à droite croissants. L’ensemble Yf ne sera convexe que si les rendements ne sont pas croissants.
Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que les quantités physiques. Introduisons maintenant les prix et les valeurs. Tout comme nous avons défini une infinité de vecteurs y dans l’espace à l dimensions, nous pouvons définir des vecteurs p dans ce même espace à l dimensions qui sont chacun une combinaison des prix des différents biens. Ce sont les prix relatifs qui nous intéressent ; dans un exemple à trois biens, les vecteurs de prix (4,12,5) et (8,24,10) font double emploi. Pour éliminer les vecteurs qui répètent un vecteur déjà connu, une solution fréquente consiste à ne retenir que les vecteurs de prix dont la somme a une valeur déterminée, par exemple l’unité. Seuls les vecteurs ne comportant pas de prix négatifs et au moins un prix positif sont économiquement significatifs.
Dans un exemple à trois biens (1,2 et 3) dont les prix et les quantités sont respectivement p1 p2 p3 et y1 y2 y3, le produit vectoriel p.y égale p1.y1 + p2.y2 + p3.y3. Le produit de deux vecteurs donne un scalaire et non un vecteur. Comme yi est positif pour l’output et négatif pour l’input, le résultat de ce produit vectoriel n’est rien d’autre que le profit de la firme pour les prix considérés. Nous le noterons par la lettre p.
Voyons la figure 6.5. Le vecteur p (normé à 1) est dans le cadran positif. Il se fait que les vecteurs y qui multipliés par p donnent une même valeur de p forment ensemble une droite perpendiculaire au vecteur p. Chaque valeur de p définit donc une telle droite et ces droites sont parallèles entre elles pour un même vecteur p. Plus p est élevé, plus la droite est située vers le nord-est.
En concurrence parfaite, la firme considère le prix comme une donnée et s’y adapte en choisissant le vecteur y qui maximise son profit p.y. La question est donc de savoir s’il existe dans Yf un vecteur y* qui a cette propriété.
Graphique 6.5 : la maximisation du profit
Introduisons la notion d’hyperplan. Dans l’espace des réels à l dimensions, un hyperplan est un ensemble de points h linéaire (p.h = c). L’hyperplan a une dimension de moins que son espace et il coupe celui-ci en deux parties : celle où p.h ≤ c (notée H-) et celle où p.h ≥ c (notée H+). Dans l’espace à deux dimensions du graphique 6.5, la droite H est un hyperplan. Les droites de profit dont il est question ci-dessus sont des hyperplans dans l’espace à 2 dimensions.
Un théorème, celui de Minkowski, dit ceci : soit un ensemble convexe Y dans Rl et un point y dans Y. Si et seulement si y n’est pas intérieur à Y (autrement dit s’il est sur la frontière d’efficience), il existe un hyperplan H passant par y et laissant Y tout entier d’un même côté.
L’hyperplan H relie les points pour lesquels le profit égale une valeur p*, lorsque le vecteur de prix (non nul) est p. Au nord-est, le profit est supérieur à p* et au sud-ouest, il est inférieur. Le point y* sur la frontière d’efficience est un point de profit maximum puisque les points de Yf qui ne sont pas sur l’hyperplan rapportent nécessairement un profit inférieur. Ceux qui pourraient rapporter plus ne sont pas faisables.
L’application du théorème de Minkowski à notre problème implique donc l’existence d’une activité maximisant le profit pour un vecteur de prix non nul, pour autant que Yf soit convexe. Il ressort à l’évidence du graphique 6.4-C que si les rendements d’échelle sont croissants, il n’y a pas de plan de production, maximisant le profit. Mais la convexité ne suffit pas ; si les rendements d’échelle sont constants, la maximisation du profit consiste à produire toujours plus. Ce n’est donc que si les rendements d’échelle sont décroissants que la firme peut maximiser son profit.
Tout comme les scalaires, les vecteurs peuvent entrer comme variable indépendante ou comme variable dépendante dans une fonction. Prenons le cas des vecteurs de prix p, pour lesquels la maximisation du profit est déterminée. On peut considérer que les vecteurs y* qui maximisent le profit sont une fonction y(p). Le profit correspondant, p (qui est un scalaire), est également une fonction de p : c’est la « fonction de profit », notée p(p). La fonction y(p) peut être considérée comme la fonction d’offre de la firme (une offre élargie toutefois, car elle inclut la demande des inputs). L’offre résulte d’un comportement optimisateur ; la fonction d’offre n’est définie que si un plan optimum peut l’être, c’est-à-dire si les rendements sont décroissants. La fonction y(p) est alors continue.
Convexité et optimum du consommateur
La manière d’aborder la consommation est similaire, mais le problème diffère légèrement. Le consommateur doit lui aussi choisir une combinaison de biens représentée par un vecteur, qui est noté x. Le travail fait partie des l biens. Les biens offerts, et le travail en est un, viennent en négatif. Dans l’espace euclidien à l dimension, on peut délimiter l’ensemble X des consommations faisables en éliminant celles qui n’apportent pas le minimum vital et celles qui offrent un travail au-delà des limites physiologiques. Alors que l’ensemble des productions faisables avait sa frontière vers le haut, celui des consommations faisables est borné vers le bas. L’ensemble X est présumé convexe.
Les consommateurs disposent souvent d’une allocation initiale (épargne passée, héritages…). Soit e le vecteur à l dimensions de cette allocation initiale.
Les consommateurs sont soumis à une contrainte budgétaire, qui les empêche de dépenser plus que leur revenu en ce compris l’allocation initiale. La contrainte de revenu, qui délimite les consommations payables, dépend de l’allocation initiale et du vecteur de prix. On peut caractériser ainsi les vecteurs de consommation, satisfaisant à la contrainte budgétaire :
Le travail venant en négatif dans le vecteur x, les revenus du travail viennent en négatif dans le produit p.x ; il est donc possible que p.x soit plus petit que p.e même lorsque ce dernier est nul.
Dans le cas de la production, c’était la technologie qui délimitait les plans de production faisables. Compte tenu de la technologie, la maximisation du profit était purement algébrique et objective. Pour la consommation, nous devons introduire une notion supplémentaire, de nature subjective : la préférence du consommateur. Le consommateur individuel peut toujours comparer deux vecteurs de consommation x1 et x2 et le résultat sera nécessairement une de ces trois possibilités : x1 est préféré à x2 ; il lui est indifférent ou bien x2 lui est préféré.
Mathématiquement, il y a deux manières de présenter la préférence du consommateur. La première consiste à imposer un préordre dans l’ensemble X. Les différents composants de X sont classés en une série de « surfaces d’indifférences ».
Les économistes attribuent généralement diverses propriétés au système de préférence, dont les deux principales sont :
L’autre manière de représenter les préférences est de faire appel à une fonction d’utilité, comme suite aux travaux de von Neumann et Morgenstern (cf. supra). A chaque vecteur x, on fait correspondre une valeur réelle u(x) telle que cette valeur est nécessairement plus élevée pour un vecteur de bien préféré et égale lorsque le consommateur est indifférent entre deux consommations. L’existence d’une telle fonction a été démontrée mathématiquement, moyennant quelques conditions légères que doit satisfaire le système de préférence, principalement la continuité.
La fonction d’utilité est continue. La convexité des préférences correspond à la convexité des courbes d’indifférences, bien connue. La fonction d’utilité correspond à la colline de plaisir dans sa dimension « hauteur » ; elle est concave lorsque les courbes d’indifférences sont convexes[2].
Le graphique 6.6 montre l’optimum du consommateur. La contrainte budgétaire définit un hyperplan (orthogonal par rapport au vecteur de prix). Le consommateur ne peut se payer que les vecteurs de consommation de X qui ne sont pas en dessus de cette contrainte (au nord-est). Le vecteur x* est optimal car il est situé sur cet hyperplan et atteint la courbe d’indifférence la plus élevée. L’ensemble des points apportant une utilité strictement supérieure à celle de x* (noté X+) est situé entièrement du côté inaccessible de la contrainte budgétaire.
Graphique 6.6 : l’optimum du consommateur
Il est démontré que si x* est le vecteur préféré parmi ceux qui respectent la contrainte budgétaire, alors, x* minimise la dépense p.x pour l’ensemble des vecteurs de consommation x sur la courbe d’indifférence de x* ou dans la région ombrée au-dessus.
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